集合的概念（试讲）

• 今天我们将开启高中数学学习的新篇章，讲解集合的概念。
• 举例说明集合的内容，包括解决方程和点的集合。
• 强调研究对象和研究范围的重要性。
• 介绍集合元素的特征，包括确定性、不异性和无序性。
• 提供关于特殊数集的符号记忆。

好，升课，同学们好，请坐。

今天这节课呢，我们将开启我们高中数学学习的新篇章，讲一个新的内容，叫做集合。

那么什么是集合呢？在讲这个概念之前，老师先给大家举两个例子。首先第一个例子，x²等于2是否有解？有时候还听到有的同学说有解，解释为**√2和-√2对不对？那如果我继续来在这个问题的基础上继续发问，我说这个方程有没有有理数解？这个时候是不是就没有解了？那么我们刚才得到的解√2和-√2**是不是在实数域里面去考虑它的解的情况？

那么我们发现，对于研究的范围不同，我们对于同一个问题来说得到的解是不是可能是不一样的？所以我在研究数学问题的时候要格外注意它的研究范围。

接下来咱们来看第二个例子：到定点的距离等于定长的点的轨迹，构成了什么图形呢？小朋友们在说，非常好！我发现在平面上去考虑的时候，它构成的轨迹是一个圆。我把这个平面上这个范围给它拓展到我们的三维空间，这个时候我们得到的到定点这里的定常的点的轨迹就是一个球体。

通过这两个例子我们发现一个问题。在研究一个数学问题的时候，我需要非常明确我们的研究对象是谁，并且还要确定它的研究范围。对于不同的研究对象和研究范围来说，它得到的结果是不是可能是不一样的。

那么可见，我们去研究数学问题的时候，确定研究问题和研究范围非常重要。

那么我们可以用什么样简洁有效的方法去确定我们的研究对象和研究范围呢？那么今天要讲的集合，就给我们提供了一个非常有利的工具。

说到集合这个概念，其实大家一点都不陌生。比如说我们初中阶段就接触过了方程和集合的解，还有比如刚才这个例子到定点这边叫定常的点构成了轨迹所组成的点的集合，对不对？还有呢，比如说我们高一八班的全体学生。这些例子其实都是我们集合的内容。

老师刚才在举这几个集合的例子的时候，大家想一想老师格外有哪些因素需要特别注意。一共有两个，一个是每一个，一个是总体。

对于集合来说，这个每个和总体到底有没有一个什么样的专有的数学名词去给它表示呢？那么接下来我要介绍集合中相应的一些概念。

首先第一个叫做元素。在我们集合中体现的就是我的研究对象，那它的数学名词我们改名字叫做元素。比如说我这个集合的元素和我的研究对象。我们的总体在集合中其实说的就是我的集合这个概念。对于它的概念来说，就是一些元素构成的总体。我们看到这一盒的概念中有一个“一些”字，这个一些既可以指一个，也可以指两个，也可以指很多个，甚至可以是零个。

那么给了元素和集合的概念之后，我们要想我们可以用什么样的数学符号去表示？一般的，我们用小写字母a, b, c等等用小写字母去表示我的元素，然后用大写字母A, B, C等等去表示我们的集合。

我们继续来想，我们有一些元素构成了一个总体，它就是一个集合了吗？显然不是的。那么接下来我们要讲第二个内容，就是我的集合中元素到底有哪些特征。在讲这个内容之前老师先给大家举两个例子，大家来听。

第一个例子，我们说高一年级我们学校高一年级个子较高的同学全体构成了一个集合，这情况对吗？我看到有的同学摇摇头，是不是为什么不对啊？这个个子较高是一个什么样的标准呢？是175厘米―180厘米之间的标准呢？我们是不清楚的，对不对？所以我们一个元素到底在不在我的集合里，是不能确定的，那么这个它就不是一个集合。

这说明我们集合中的元素要满足第一个特征就是确定性。确定性也就是说，一个元素到底在不在我的集合里面，我能够给出明确的判定，那不能是模棱两可的。

那么这一块就涉及到了我们元素和集合的关系。如果说一个小元素a在我的集合A中，我就用**(a \in A)**来表示。这个符号来注意一下，我们是刚刚这段遇到的第一个不太常见的符号，大家需要记一下。

那么如果说我的元素不在我的集合A中，我用符号来表示的话就是**(a \notin A)。在这次的属于符号基础上加一个左斜杠，这是我们集合的元素特征中的第一个，叫做确定性**。

接下来我们还有第二个性质，叫做不异性。那么什么是不异性呢？不异性，老师给大家举个例子。还是咱们高一八班的全体学生。我们来想一想这两个事情，咱们班有没有可能有两个一模一样的三？这个是不可能的，对不对？这个事情很诡异，是不可能的。那么这体现的就是无异性。

那么对于你来说，一个元素在一个集合中是不可能含有相同的元素。那么这体现的就是无异性。

接下来我集合的元素还有第三个可能叫做无序性。那么什么是无序性呢？老师还是通过一个例子给大家来理解一个事情，还是拿高一八班成绩优秀的学生举例子。现在咱们每个人是不是都有一个各自的座位呀？接下来一段时间，我们进行了一次期中考试。期中考试结束之后，我们把咱们班的同学的座位排位情况进行了重新分配。

那么这个时候每个人都有一个新的座位。那么问题是我们排座位之前咱们班同学的高一八班全体学生和排座位之后咱们班的全体学生，这两个集合是一样的吗？因为无论我们的位置怎么变化，咱们班的全体学生还是这些同学呀。

所以我们这块体现的就是无序性。也就是说，对于一个集合来说，里面的元素无论它的位置怎么颠倒，只要它的元素是相同的，那么这两个集合是相等的。这就是我们集合的元素特征。

说到这里，我们数学上有一些常见的特殊的数集给了一些符号记忆。这里需要大家记一下特殊数集，比如说第一个，我们自然数集用N来表示，代表自然数的首字母N。然后我们的正整数用的是自然数去掉0，这时候我们在N的上边加一个星号或者说，也可以记为N下小标加一个正号。

还有我们的整数集用大写字母Z来表示，然后我们的有理数用大写字母Q来表示。继续我们的实数用大写字母R来表示。这是我们数学中一些常见的特殊数据的一些数据的符号表示，大家可以下课的时候去记一下。

那么讲到这里，我们就把集合的一些简单的概念和一些小知识点介绍完了。接下来，老师问大家两个问题，请大家去思考一下，对我们本节课所讲的内容做一个简单的补充。

首先，第一个问题：中国的四大名著构成了几个集合，这是对的吗？小王，你来说。是正确的，对不对？为什么是正确的呀？因为中国的四大名著是确定的，对吧？**西游记、水浒传、三国演义和《红楼梦》**是确定的，所以它是一个集合。非常好，请坐。

好，小张，你来说。第二个问题，我们中国面积较小的河流，用哪些？这是集合吗？这显然不是，因为它和一个较小的标准到底是什么？一个元素到底在不在我的集合里面，我们没有一个具体的平台标准，所以它不是，因为它不满足我们集合中元素特征中的确定性。非常好，请坐。

刚才听到的两个例子，大家觉得我们今天的集合内容做了一个简单的巩固。那么接下来呢，我们来对本堂课所学的内容进行一个小节。老师请各位同学来回忆一下，我们今天这课都学了哪些内容呢？

小绿，你来说。我们讲了集合的概念和元素的概念部分，并且介绍了元素和集合的自我表示，还介绍了集合的元素特征，包含确定性、不异性和无序性，以及介绍了一些特殊数据的常见记号。非常好，请坐。

那么当然，我们支持的学习课在于内化，请通过课后作业完成我们本节课的课堂联系。好，这一课我们就上到这里，下课。