【2024高考总复习·进阶篇】篇章9&篇章10-概率统计篇&逻辑用语&选做题篇

• 充分必要条件的理解与判断方法
• 定义法与集合法的应用
• 通过简单实例阐释条件判断的步骤

充分必要条件这一块很多同学刚有的反应是：“这难道没觉得他多难？”可是如果去死记硬背的话又觉得确实不好。我们知道经常有类似问题，就是给我个P，给我个Q，然后就问我P是Q的什么条件吗。我们的课本和参考书上当然都会给我们总结，告诉我们如果P能推出Q，P就是Q的充分条件，同时Q叫做P的必要条件；如果P能推出Q，Q不能推出P，P就是Q的充分不必要条件；如果Q能推出P，P不能推出Q，P就是Q的必要不充分条件等等。这些结论长得都还很像。我如果真的完全不理解，然后就去硬背这个表格，你会发现很容易记混，考试的时候头脑不清醒，可能整道题就选错，没有分了。

所以我没有什么办法，我根本就不去背这个表，但照样可以解决这种问题的。答案呢？当然可以。你给我个P，给我个Q，你问我P是Q的什么条件，我怎么应对？我可以选择用定义法，也可以选择用集合法。先看一下所谓的定义法，意思是我要了解什么叫做充分，什么叫做必要。

在我们的生活与境里，“充分”这个词经常后面会跟着“证据”。我们说A的充分证据就是B，意思是有B就足以能够证明A会发生。**所以什么叫做“充分”？就是有它就足够证明整件事情了。**换言之，有它一定可以就叫做充分。那么什么叫做P是Q的充分，意思是只要有P发生就足以证明Q会发生了，这时候的P就叫做Q的充分条件。

而“必要”这个词我们通常会跟“前提”联系在一起。我们说某某的必要前提是什么，这是一种常用的语境。所以，什么叫做“必要”？就看它是不是一个必要的前提。而什么叫做必要的前提？就是没它就不行，才叫做“前提”。所以我如果想知道P是不是Q的必要条件，很简单，你就去想：是不是没P就不行了？是不是P只要不发生Q就不会发生了？

如果只要P没发生Q就一定不会发生，意思是只要没P就不行，说明P很有必要，那P就会是Q的必要条件。这就是所谓的从定义的角度去判断P是Q的充分条件还是必要条件。想清楚什么叫充分：充分的意思就是证据；什么叫证据，有它一定行；什么叫做必要，必要的意思是必要的前提；什么叫必要的前提，没它就不行了，就叫做必要的前提。

只要我们能够想通这一点，在实际作题的时候就可以换一个词，很容易的判断P是Q的什么条件。比如，先举一些简单的例子。你说P叫做“我是年级前十”，Q叫做“我是班级前十”，然后你现在问我P是Q的什么条件。我就先去想P是Q的充分条件吗？

然后我就把“充分”这个词换一下。我们知道“充分”经常会跟“充分证据”在一块，那我就问自己，P是Q的证据吗？什么叫做P是Q的证据？就是只要有P发生Q就会发生，对不对？只要P对Q就对，就叫做P是Q的证据。那么我就想，只要P对Q就一定对吗？是的，我是年级前十，我是不是就一定是班级前十？那当然，我在整个年级都排到前十，在班里面肯定也是排到前十的。所以，现在只要P对就对，P就是Q的充分性的证据了，所以它是它的充分条件。

然后你再问自己那P是Q的必要条件吗？你直接去想想不清楚没关系，你把必要这个词换一下。必要经常就会跟前提在一起。你想知道P是Q的必要条件吗，就是在问你自己P是不是Q的前提。**什么叫前提？没它就不行才叫前提。**所以你就去想，现在是不是没P就没Q？如果没P就没Q，那就是必要的。你想想没P就没Q吗？P只要不发生Q就会不发生吗？我不是年级前十，我就不是班级前十了吗？那倒未必吧，我就算不是年级前十，我在年级里的排名就算比较靠后，我依然有可能是班级前十，对不对？也就意味着现在P没有发生Q确实有可能可以发生的。所以没有PQ确依然可以有，那P对Q来说不是那么的必要吧，所以现在P就不是Q的必要条件了。

现在你问我P是Q的什么条件，那我就可以回答你了：现在P就是Q的充分的但是不必要的条件。充分是因为只要有P就有Q，所以它是充分的不必要，**是因为现在P没了Q确依然还可以有。**那么这个判断是不是这样就完成了？

类似的再换一个简单的例子。你说P是“我是福建人”，Q是“我是厦门人”，然后你问我P是Q的什么条件。还是按照刚才这个脑回路去思考。我先问我自己P是Q的充分吗？这句话换一个词，充分就是证据，那我就是问我自己P是Q的证据吗？什么叫做P是Q的证据，就是只要有P是不是就有Q呢？那你想想，只要我是福建人，我是不是就厦门人呢？那当然未必啊，我是福建人，我可能是厦门的，我可能是福州的。福建有那么多地方，我不一定是厦门的吧，所以现在有P发生却不一定会有Q发生。有P却未必有Q，那P就不能够充分的证明Q的发生，那我就不是一个充分的证据，我就不是充分条件。

那我再问我自己P是Q的必要条件吗？给我自己换个词，什么叫必要？必要就是前提，问我自己P是不是Q的前提。什么叫前提？没它就不行叫做前提。那我就想想是不是没P就不行了？也就是是不是没P就没Q了？是不是我不是福建的我就不是厦门的了吗？哎，那确实是。我如果连福建人都不是，那我就不可能是厦门人吧。因为厦门包含在福建内；我如果不是福建省的，我就不可能是厦门的。所以只要没有P，现在是不是就一定不会有Q？没P就没Q啦，那P当然就是Q发生的必要的前提。P就会是Q的必要条件。所以P是Q的什么条件？它是必要的但不是充分的，它就是它的必要不充分的条件。它是必要的原因是因为没P就没Q，不是福建的就不是厦门的，所以它很必要；它不充分是因为是福建的不一定是厦门的，有它一定型才叫做充分，现在有它却不一定有Q，那还就不够充分。因此P就是Q的必要不充分条件。

类似的你的P叫做X大于1，Q叫做X平方大于1，请问P是Q的什么条件？一样的道理。先想想P是不是Q的充分条件，也就是去想想P是不是Q的证据；也就是去想想是不是有P一定行；也就是去想想是不是P对了Q就一定对。X如果大于1了，它的平方是不是一定大于1？确实是的，一个数如果是大于1的，它的平方确实一定是大于1的。所以现在有P就一定足以证明Q会发生，P就是Q的充分条件。

那P是Q的必要条件吗？就是问我自己P是不是Q的前提，也就是问我自己是不是没P就不行了。是不是只要P是错的Q就是错的？那你想想，如果现在P是错的，也就是如果X是小于等于1的一定会是Q错吗？也就是它的平方就一定也会跟着小于等于1吗？当然不是啊，我一个数是小于等于1的，我完全有可能我的平方却是大于1的吧，比如说2的平方，它就大于1，3的平方也大于1。所以说明当P错的时候依然有可能Q对，P没有发生的时候Q却依然有可能发生，那P对于Q来说还算什么必要，你根本就不是我发生的前提，那我就是不必要的。那么这个时候P是Q的什么条件，就是充分不必要的条件。

但如果我选择把这一道平方改成了立方，这时候的P就会是Q的充要条件，也就是既充分又必要的条件了。因为我会发现这时候两者其实是完全等价的，如果X大于1，它的立方肯定大于1，如果立方大于1，X本身肯定也会大于1。所以P能推出Q，可以能推出P，两者可以互推，就叫做两者等价，等价其实就是充要条件。

这就是所谓的用定义的方式帮助自己去判断P是Q的什么条件。我们从头到尾都没有在背那个表格，我们就是告诉自己什么叫充分，就是有它一定行，就要做充分；所以如果P对Q就对它就叫充分。什么叫必要？没它就不行才叫必要，所以如果P没了Q就也没了，才叫做必要。我就去检验这两件事情，就足以判断P是Q的什么条件。

我们可以先试一下用这种定义法是不是可以解决实际考试当中的问题。比如说看一下这道例题，题目里头给了我们两个命题：命题P是X的立方大于1，命题Q是X加2取一个以二分之一为底的对数之后的小于1。他现在就问我P是Q的什么条件。这是很常见的一种考法。那我就先去思考：P是不是Q的充分条件？就是去思考P是不是Q的充分性的证据；也就是去思考是不是有P一定行。换言之，就是去想想是不是只要P对Q就对。如果P对Q就对，他就是他的充分性的证据，他就是充分条件。

你想想如果P对，也就是X立方如果真的大于1，那会怎样？那X只会大于1，那Q对不对呢？X如果大于1，X加2只会大于3，一个大于3的数取对数会怎样？那要看你的底数是多少。我现在的底数比1小，那就是个递减的对数函数，所以大于3的数取完对数之后的结果会比3的对数结果要小。有P一定行，他就是充分的。

那P是Q的必要条件吗？那我就是问我自己P是不是Q的前提。什么叫前提？没它就不行，才叫做个前提。所以我就是去想：是不是没P就没Q了？也就是是不是P是错的，Q就一定是错的。如果是的话，他就是他的必要。那我就想想：是不是没P就没Q？如果P是错的，说明什么？说明X的立方现在不是大于等于1的，说明现在X的立方小于等于1，也就是X小于等于1。那这个时候Q是不是一定错？X如果小于等于1，X加2一定小于等于3，一个小于等于3的数取一个以1为底的对数，那他就一定会比log1还要小。说明没P就一定没Q吗？不一定，那就说明P对Q来说也不是那么的必要，那还就不是必要的。

所以现在P是Q的什么条件？我们现在就知道了，就是充分不必要的条件。这就是我们处理这类题的一种方式。这就是所谓的用定义法去作题。

大家可能不太喜欢这种方法，充分就是有它一定行，必要就是没它就不行，这确实是一种作题思路。但是我还是觉得做题来太绕了，那怎么办？我可以选择用集合法。集合法的思想很简单：小东西就是不必要的，大东西就是必要的。这是很符合我们生活当中的常识。在我们生活当中，确实小东西可能就不是那么的必要，而大的家伙对我们来说就是很重要很必要的。

所以如果我从这个角度去记它，我就可以用集合的方式去判断P是Q的什么条件了。看一下我们刚才已经判断过的这几个，我们很快就会发现它在集合上所呈现出来的规律。看P是“我是福建人”，Q是“我是厦门人”，如果我把P跟Q背后所代表的集合划出来，那现在显然厦门是包含在福建里的。**所以我如果把P跟Q划成这种集合之间的关系，**是不是Q是包在了P里面的？所以这时候P是那个大家伙，Q是那个小家伙，对吧？所以如果你问我的是P是Q的什么条件，那我就只去观察P是大是小。我只要发现它是个大家伙，我就会发现它是必要的。

你看，确实跟我们刚才的结论是吻合的。我是必要的，但我是充分的吗？如果我既是必要又充分，我就是充要。充要就是等价，等价这两个东西得一样大才行。现在的PQ不是一样大的，说明它如果已经必要了，它就不会充分了，所以P就是Q的必要不充分。

而你在观察我们刚才已经判断过的这个命题，就会发现这个时候PQ之间的包含关系是不是反过来了？P是“X大于1”，Q是“平方大于1”。平方大于1包括X的本身大于1，或者X小于负一，两种可能，**所以这时候Q比较大而P比较小。**你问我P是Q的什么条件？我们说了：小东西就是没那么必要，大的东西才是必要的。你问我P是Q的什么条件？我就从P的角度去说，P现在很小，那P就是一个不必要的东西。所以P就是Q的不必要的条件，那还是充分不必要吗？那确实是充分不必要。

毕竟它不是既不充分也不必要的关系。两个集合毫不搭边才叫做既不充分也不必要。现在两个集合之间只要有着相互包含的关系，它就不可能是既不充分也不必要的，所以我就可以快速的判断出来：那P就是Q的充分不必要。

这就是我们刚才那句话的意思：谁小谁就是不必要，谁大谁就是必要。现在P大，那P就是必要的。所以这里的结论是必要不充分；P小，那P就是不必要的，所以这里的结论是P是Q的充分不必要。而如果两个人一样大，那他们就是充要条件的。就像现在X大于1跟X立方大于1背后所代表的集合范围其实是一模一样的；立方大于1其实就是X要大于1。所以当两个集合一样大的时候，左右可以互推，这就是充要条件背后的含义。

所以用集合法去做，我们刚才的这道题目会发现，一样可以快速的得到整道题的正确答案。我想知道P是Q的什么条件，我就先看一下P跟Q这两个集合之间到底是个谁包着谁的关系。P它背后的集合其实就是X大于1，也就是1到正无穷。Q背后的集合呢：log1-1小于0，实际上也就是1的对数，它是个递减的对数函数。所以，如果它的对数想比它的对数要小，这个值反而要比右边的值要大。

这时候的X就应该是一个大于负一的数。所以说明Q背后的集合是从-1到正无穷；一个是从1到正无穷，一个是从-1到正无穷。说明这时候是P包在了Q里面。P是Q的帧字集。这说明什么？我们说了P是Q的条件，就看P小还是大，大小的东西就是不必要的，大的东西才必要。现在是不是P比较小？那P就是Q的不必要的条件。不必要写完了，那到底后面写的是不必要但充分，还是不必要且不充分呢？我们说了，只有两个集合毫不相干才叫做既不充分也不必要。你现在不是这种情况，所以你前面如果是不必要，后面就不可能再写不充分了。所以后面当然写的就是充分。

那P就是Q的充分不必要的条件，意味着这时候是谁推谁，我也可以跟着告诉你。我说了在班里可以推出我一定是我们学校的，所以在小集体里可以推出我在大集体，反之未必。因此整道题我可以告诉你完整的判断了：首先我可以告诉你P是Q的充分但不必要的条件；其次，我可以告诉你像是P可以推出Q，但Q不能反推P。这就是我们所谓的集合法。

所以我们可以选择用定义法去判断P是Q的什么条件，也可以选择用我们刚才所说的集合法去判断P是Q的什么条件，看看透什么，自己个人的喜好。好了，接下来再看一下关于充分必要条件的另外一种考法。它可能不是给你一个P，给你个Q，问你P是Q的什么条件了，而是已经告诉你P是Q的什么什么条件，要求你去计算某些参数的范围。这个时候怎么办？我们就可以选择用集合法去判断。

我们同样会在课本和参考书上面会看到一些类似的结论，同样告诉你P是Q的什么什么条件的时候，代表谁包着谁。这个表格你不用去背，只要理解我们刚才所说的集合当中小就是不必要，大就是必要的，就可以很容易的去做这种对应的题目了。

比如我们直接看一下这节课的最后一道例题：若不懂事blahblahblah成立的充分不必要条件是blahblahblah，然后问我们这个参数A的取值范围是多少。首先先把这道题正确的翻译成我们所熟悉的语言环境。我们熟悉的语境是什么？某某什么的，某条件对吧？那我现在就先把它们都用PQ表示一下。比如我就把X-A的绝对值小于1记为P，我把X大于1小于3记为Q，那现在这句话就叫做P的充分不必要条件是Q，对吗？

然后我把它按照我所习惯的语境说，也就是Q是P的充分不必要条件，而Q是P的充分不必要条件说明这两个集合是相互包含的关系。谁小谁大，我是你的不必要，就说明我小，因为我们说了小东西不必要，大的东西很重要，它是必要的。所以我是你的不必要的条件，说明我小，也就意味着现在Q比较小，P比较大，Q必须要是P的真子集。

我们就翻译完了。如果你问我谁推谁，我位可以告诉你，我们说了，我是我们班的，可以推出我是我们学校的，我在小的集体里可以推出我在大的集体，但我是我们学校的，我未必是我们班的，所以我现在既可以告诉你P与Q之间是谁推谁，也可以告诉你它背后的集合之间是什么样的从属关系。好了，我只要翻译到集合之间的从属关系，那这道题的答案自然就出来了。

我现在希望什么？我现在希望Q是P的真子集。Q是什么东西？是1到3之间的集合。那P背后的集合呢？X-A的绝对值小于1的背后的那个X范围是什么？很简单，X-A只要在-1到1之间嘛，那X只要在A-1到A+1之间嘛。

所以我现在就知道了P背后的那个集合就是A-1到A+1之间，Q背后的那个集合是1到3之间。我现在希望Q是P的真子集，怎么样就可以做到？画个数轴就知道了，这就是1到3。而我需要我的P集合的左脚比Q集合的左脚更左，我希望我的P集合的右脚比Q集合的右脚更右。我需要我的A-1比2-1小，同时我的A+1比2+1大，所以我的A应该是小于2-1的，而且大于1+1。

那有没有可能我的左脚彼此重合了呢？当然有可能。你可以考虑一下，如果P集合的左脚跟Q集合的左脚重合了会怎么样？这是我的Q，是1到3，我的P是A-1到A+1。如果我的P的左脚跟Q的左脚重合了，也就是我的A-1跟1-2相等， 那这个时候我的A-1是不是大概就会画在这里？A-1是1-2的话，A-1要比A-1多一个2，那就会画到1-5了。这时候同样叫做Q是P的真包含，所以说明A-1等于1-2也是OK的。

同样的，我右脚重合是不是也有可能做到，满足你的要求？我P跟Q的左右脚，现在我已经清楚的知道了Q的右脚是2-3。如果我的P的右脚A+1跟Q的右脚2-3是重合在一起，那么这个时候我的P的左脚在哪里？我的左脚叫A-1。如果A+1是2-3的话，那就是2-3的减去2，也就是-1-2。这时候的P是-1到3，Q是-1到3；同样做到了Q是P的真子集，说明右脚重合也OK，也就是A等于1-2其实也是满足要求的。

总之你只要保证Q是P的真子集就行了，而想保证这件事情，大于1-2-3的可以A等于2-3，以及A等于1-2也可以。总的来说，A只要是大于1-2，小于2-3的都可以，最终的答案我们自然就可以得到。所以以后这种题怎么做，我们是不是应该清楚了？你告诉我，谁是谁的什么什么条件之后，我就可以将它翻译成集合的角度。如果你告诉我，Q是P的充分不必要，我就去想不必要是什么意思。不必要的意思是小，你是不必要的，说明你小。

所以Q是P的真子集。如果你告诉我，P是Q的必要不充分条件，说明P是必要的。大东西就是必要的，很重要。所以这个时候P是那个大的东西，Q现在是P的真子集。**不管它换成什么样的语言，我们是不是都可以快速的翻译了？**比如你先告诉我，P是Q的充分必要条件，就是充要的，说明什么？我们说了，充要的意思就是等价，说明它们背后的集合是完全相等的。如果你告诉我，P是Q的充分不必要，说明什么？说明一大一小相互包含，谁小，P是不必要的，谁是不必要的，谁就小。

所以P现在要是Q的真子集。如果你告诉我，P是Q的必要不充分条件，说明什么？说明P是必要的。大东西就是必要的，很重要。

所以这个时候P是那个大的东西，Q是P的真子集。不管它换成什么样的语言，我们只要翻译到集合之间的关系，就变成我们之前的知识点，一定可以去计算参数的绝对范围。这就是关于充分必要条件，它主要的两种考察方向，一种是给你PQ，问你P是Q的什么什么条件，我们可以从定义的角度去做题，充分就是有它一定行，必要就是没它一定不行；另外一种考察方法就是已经告诉你P是Q的什么什么条件了，求参数范围。同样可以用我们刚才所说的集合的角度去做一个正确的集合之间关系的翻译，参数范围再按就有OK。

以上就是我们这节课的两大块内容。下节课再见，拜拜！