最新《植树问题》公开课数学优质课【小学数学特等奖】

1. 港珠澳大桥：世界之最的成就
2. 学生们通过数学问题探索树木间距
3. 不同的植树方案和思考碰撞
4. 段数与树数的关系探讨
5. 大课堂中数学问题的实际应用

取得了举世瞩目的成就，港珠澳大桥就是其中的代表作之一。它有六项世界之最，是多所高校科研团队智慧的结晶。看到它，你有什么感受呢？你说我感觉这座大桥很长，有很多路灯。我感觉里面有很多柱子，不知道柱子里空隙到底有多少个。这个修建难度非常之大，所以能够修建成功，我是中国人，我很骄傲。

那我们站在数学的角度去观察它，乔敦排列，你又会发现什么呢？我发现它们都有一定的间隔。特别善于观察的孩子们，像这种事物有序排列的现象就是数学上非常有名的实数问题。请同学们在此悉读课题，咱们今天就来探讨和植树相关的话题。

默读，看看有没有重要的数学信息。请你已知，同学们要在全长的小路一边植树。老师告诉你了这条路的长度，然后还告诉你了每隔五米栽一棵。就是每个树之间的间隔是五米，这个词用得非常好。他问一共要栽多少棵树？还有补充吗？

男生说：它每隔5米，两端都要栽，还有一个重要的信息，两端要栽，谢谢。那这里的每隔5米，这位同学刚才表达的非常准，指的是两棵树之间的一个在10米的路上，5米一段，5米一段要进行平均。真好，要摘多少棵呢？猜一猜。女生说，我觉得应该是10除以5棵，可能是20棵。还有不同的猜测吗？

你说我猜这是错误的，因为他说的是两端都要栽，所以他刚才那位同学只说了一端的，然后要说两端的。我看你的表情，好像不同意他的说法。你觉得应该是多少？这位孩子觉得应该是40棵，另有的说2棵。还有不同猜测的，你说我觉得应该是21棵。

孩子们，像同样的一个问题情境，我们却有了这么多的不同答案。在数学学习中，如果遇到数据，通常可以从简单的问题入手，然后去探索规律，找到解决的方法。那老师给同学们准备的题单就是从15米、20米和25米去进行操作，请大家看着自己的题单，一不着急行动，先看清楚自己研究的全长是多少。

然后想一想，每隔5米栽一棵的情况下，应把这个线段平均分几分。第二，在画的过程当中，你可以像老师这样用一个简单的符号来表示栽的树，也可以用自己喜欢的符号来表示。完成后，请同桌交流，清楚了吗？行动，用上纸尺分一分。你也可以算一算，写出来再来画都可以。

孩子们，有人带纸尺吗？可以用上纸尺呀。你可以先算再画，非常好。完了吗？把它画完了。1、5、2、5、3、5、4、5、5、5，20秒。

更远一段可以分成几段，哇，特别漂亮。等一下，我尽量找你，提起这只手好不好？谢谢，把图补上去行吗？用扇子去把这个图给它补充完整好吗？

很美。李带子去了吗？哪个？有问题吗？我看有的同学已经作证了，你也可以把自己的想法和你的同桌说一说。非常好。等一下，只有这个图没完成，把图补充完整可以。好，孩子们，坐着，谁来分享自己刚才思考的过程？

那位女生来，这位同学说给大家听。说吧，这条路的总长是15米，把它分，就是5米一段的话，就是把它除以5，就是三段，那棵树的话就是再加一，就是四棵。你说得非常认真。下面还有的同学澄清，在自己的思维过程当中同学们，倾听是一种非常好的学习习惯哦。

听到他刚才说的了吗？老师问一下，你在这一个图上面用到了一个计算，它是什么？是什么？你说我把它记下来是平均分。平均分谁除以谁？15除以每段数5米，那你得了等于3。什么3段。好，3段。

记者还怎么想的？因为他说两端都要栽，所以还要加一，就是四棵。我们都在讨论栽树的事，老师在你这个图上我没看到树，你给我们解释一下树在哪里？指一指。树在这里，同意吗？为什么要加那个1呢？

今后你的图给我们说说，因为如果按段数算的话，它就是123，但是它这里后面还有一段，就是14棵。那可不可以这样说，刚才她说了段数，也说了棵树的位置，那就是一棵树。对，我们一起来吧。一对一，一棵树对一段，一棵树对一段，一棵树对一段，那最后这里也要对一个。

所以棵树比他多，就应该要加一。我欣赏你的回报，很清楚。谢谢，话筒是哪一组的？还有研究不同场地的。哎呦，都等着了，把机会给他好吗？我今天抽你了，没抽了，机会给你了。同学，他是一个很大度的孩子来，你说说你的想法。

我的想法就是全长他说这个全长有25米，然后一段的距离是5米，然后我们就可以用25除以一段的距离就可以得到他一共的段数是5段。然后再用，因为他说两端都要栽，所以说我们如果不加一的话就只算了这一个点，还有这些点没算这一个点。所以我们要算这一个点就要加一个1，等于6棵。所以段数是5，棵数是6，段数是5段，棵数是6。

对于他的汇报谁补充好，哥们来了，你想补充它的哪里可以带上你的体谅吗？我想补充它的规律，因此我们可以总结规律，就是那个段数等于棵数加一。因为我们发现一段对应一颗，最后会余下一颗，那么最后这一颗就是多余的一颗，那么要把这一颗加上才等于棵数。所以段数等于棵数加一。

补充的是你后面的说法。段树的一个科学家。译同学们，我们再把他们俩的记住，记住我们后边这位同学你站旁边一下，我们都看得见。

然后前面这位同学，他刚才在上面指点的时候，好像找不到这样一看呢？数清楚了吗？你的思路非常地清晰，只不过在图上面要是再补充一下的话就是完美了。更好了，都懂了吗？好，把你们俩的算式老师把它记下来。刚刚怎么说的？用25怎么样？等于几啊？等于5。什么？然后老师发现这几个字不咋定，来，精益求精，重新来一遍。

25除以5等于5段，然后5加等于6，掌声谢谢你们。

同学们曾经给老师透露过一个信息，老师，我们喜欢玩着上课。那接下来我们还有一种研究长度的问题是20米的，我把这个线段当做20米给它贴到上面了。谁来栽，这时候你会吗？

那位女生，我们看看她又是怎么想的。树交给你，进不进来？话筒给我一个。你先说说你想怎么摆。就是20米就是需要20除以5等于4，先摆4棵，然后最后加一棵树，就是加1就等于5棵。很清楚，来我把它调整一下，摆吧，你摆你的，相信自己，你别听他们的不，摆了，你认为完了，那我们一起来检验一下，或者自己给我们汇报一定是这样吗？

嗯？你说呀。嗯，就是这是一个20米的，于是就用20米除以5，他们每个隔的距离就是20除以5等于4，有4段，那就是，然后呢？然后4段这要求两端，所以说在后面还要加一端，就是4加5，4加1等于5。刚才你在摆的时候有两个同学说嗯，你好像听到了，然后就调了一下。

开始是这样，那你为什么要调整它的位置？话筒因为要平均，所以说要每个差不多要一样，就要距离开一点。否则的话每5米一颗就不符合要求了，或者摘出来近的近，远的远，不漂亮了。说清楚了吗？你听明白了吗？

我是喜欢她这样的表达。

同学们仔细观察这三个算式你有什么发现呢？男生，他们每出完以后都加了一的，每一次算完都加一的。加了一才得科数，还有补充吗？男生你，他们这段的末尾都没有摘树，但是最开始摘了树的末尾都没摘树末尾都摘了树的就两头都摘了树的还有想说的没有。

你说话筒在这里给紧点，就是他们的多少米然后他们就是一尺加五，然后最后的科数也就是一尺加一，都要加一。那如果在解决科数问题之前我们首先得干嘛？最后女生要先要先算出它有多少段，有多少段怎么算段呢？就是用总路程除以它每个的间隔就等于它的段数。那我在这三个算式里面谁是全长？就是倍除数。它们叫全长，全长怎么办？除以它间隔的长度，那可以说成段长，每一段的长度这样算出来，得到的是它的段数。

解决了这个问题，我们就能求出科书来了，是吗？谢谢你同学们，那既然是这么回事，如果在30米长的或者35米长的路上去植树，你又会怎么做呢？男生，30米长的就可以用总全长除以段长。每段直接说算是好吗？嗯，30除以5等于6段，6加1等于7颗。同意吗？同意。

很好，35米呢？你说35米的就是用35除以5等于7，加1就等于8颗。谢谢，既然是这么回事的话，我们返回刚才的那一个情境，谁是对的呢？女生，你说你觉得怎么解决这个问题。

他就用10除以5，然后就等于20，再用20加1等于21颗。刚刚猜测20的和2的也有40的这三位同学在哪里，请上来好吗？来吧，不怕给一个话筒给我。现在你们三个还坚持自己的答案吗？不坚持了。你刚才猜的是谁？话筒给你，我猜的是20。

那你现在说一说，这20的问题出在哪里？20，这是我算出的是用全长除以段长，我算的是段数，没有加1，所以你觉得这个我不喜欢，它不是正确答案？对，现在明白了吗？明白了，好，你猜的是哪个？我猜的是2，因为我听到他说的是20，然后我就听到了要两端，然后我就要乘以2，然后就得出了40，那你现在怎么想？

我现在就认为正确答案就是21。认为是21了，那你刚才哪里理解有问题？你觉得他一直在说一个词，两端，那两端是让他这样弄成了，现在清楚了吗？真的清楚了吗？好，来，你刚刚说的是2，现在问题在哪里？

我以为两端的应该加两颗，然后就用20加2就得了。这样了，现在呢，现在我还是认为他是对的了。对，那这两个都不要了。你们三个虽然刚才的猜测有问题，但老师要特别表扬你们，因为你们有敢于大胆猜测和科学探究的精神。来，握个手，好孩子，谢谢你们。正因为有了你们的猜测，才让我们的真理更加的明白。

你们同意我的观点吗？同意。好，这个21功成身退，想明白了这样的一个道理。我们把同学们刚才汇报的过程整理一下。当全场是15米的时候，得到三段，怎么看到呢？就像同学们刚才的汇报。一颗一颗，最后同学们这种观察方法，它叫一一一，可以帮助我们解决数学上许多的问题。

接着看20米的时候、25米的时候，老师这个图都不一样了。和它表示相同意思吗？相同的。

这位同学，你想说？你说表示相同的意思，因为这个点和数，它都是一个物体，都是一样的意思。而每段的距离又不变，那也就是用点来表达比用数来表示更清晰。谢谢，简洁。

30米的时候，如果是8棵树，会有全长百米的时候呢？二十一棵。如果说有一千段的时候，会有多少棵树？你说有501棵吗？我说一千段的时候，颗数一千段的时候有一千零一颗。如果老师说我只知道那个段数是n段的时候，那颗数你说n段n加一颗。变成了n加一。

同学们，你发现了什么呢？那位女生，就是段数加一就是科数。那在什么情况下，在这两段都在的时候。你的这个总结非常的精辟，两端都在的时候，棵数等于段数加一。同学们，那你能用刚才探究出来的方法去解决，解决生活中的问题吗？

看8米长的走廊里摆花盆，两端要摆，每个几米摆一盆，需要多少盆？选择一种方案写到草稿本上，写好作证。好，作证，很多同学都有了自己的想法，请你汇报。男生，你想几米摆一盆。我想的是0.5米摆一盆。

嗯，说吧，我的答案是8除以0.5加1，等于17盆。这个摆法很好。你说，我想的是每隔2米摆一盆。算式是8除以2，8除以2加1。这样吗？对，好，还有不同摆法，你说。我想的是每隔4米摆一盆，就是8除以4，等于2段，2加1就等于3盆。有道理，还有不同摆法。

女生，我想的是每间隔一米摆一盆，就是8除以1，等于8段。然后再用8段加1，等于9盆。这样你还有，女生，我想的是每隔8米摆一盆。就是8除以8，等于1，加1，等于2盆。这样。

同学们观察，我们总长没变，选取的段长发生了，但是最后的盆数都用到了。其实在咱们生活中，很可能碰到植树的时候，被建筑物给它挡住了。它属于什么情况呢，你说还有，话筒一边。盖房子之后，就是一端种树，一端布植。

这时候你有什么发现？棵数和段树，这个时候可以不用加1。不用加1，那换一个表达可以说成是棵树。哦，都想到了。棵数等于段数，在有些时候你还会碰到这种情况，两边都被建筑物给挡住了。都发现了。

大家告诉我，这是两端不在。棵数等于善于思考和观察的同学们特别善于总结。我们就把刚才总结出来的指数方法去用一用好吗？所以直列式补给算开始。好，同学们，有的是坐着，有的是举着手，都告诉老师你已完成。请看过来你说第一题，你同意吗？第一题我同意，因为这里他说的是起点不设置点。

也就是说这相当于是指数问题当中的异端重异端不重，所以就不用加1。你很会表达，同学，他读懂了你的意思吗？给你点头。男生第二题，为什么我不同意这样的说法？你说，他没有说，他两边都要检验，两边就你也可以。我觉得他的说法是错的。

那你怎么说对的？因为他说两棵树之间的距离是三米，意思就是说两端不算，两端这两端之间的才算，所以说就要简易行不行？行。完全同意吗？你还要说的没有？没了，女生问外面的一个你把机会上一个给他。

哎，对，你说我不同意，还要怎么做、因为他说的是要在小路两旁植树，就是两旁都要植，所以应该再乘二，把这个结果还要乘以二。 他懂你的意思了，你明白了没？掌声祝贺。

最后一个，你说吧，我同意这个的做法。因为他一条街有180米长，要隔6米，关键在哪里就是要两端都要设路灯，所以要加1。特别善于读题，谢谢同学们。道理是越说越明白。

请看看，随着这样的思维方法继续深入思考植树的那个事。除了看得见、摸得着，还可以听得到。你能用直述的思想方法去解决它吗？行动。

那实质上等了十次等了八秒，是这么想的。我想能除五秒、等了几次等等一次、等了四次，应该用五减一、八除以五减一求一次的11的2秒。然后12是求12下，实际上一等了几次，对，然后用2层。

好，坐正。

同学们谁来这道题挑战，有点大呀，孩子你来吧，给我们说说。我是这么想的，广场上的大钟五十敲五下，其实就是五段减一，五下减一，也就是有四段。然后八秒钟敲完，就用八除以五，五减一的差，就等于两秒，就可以，就可以得知每敲一下就需要两秒钟。

十二时敲十二下，有十二减一段，也就是十一，就可以，十一乘二，就可以得到二十二秒。感谢她的精彩分享，同学们，在今天这节课堂上老师看到了未来的希望。咱们数学上的质数问题，它不仅是质数，其实实际研究的是点数和段数之间的一种关系。

也不仅仅是在直线上，质数还可能会在对了曲线的方形的这种情况下。指数，这有待于同学们以后去继续探究。也许你就像今天这样，用数学的思维方法去思考的话，就成了未来的数学家。数学家们，下课。