De Qué Está Hecho un Número?

• ¿Qué es un número? una pregunta que parece simple pero es profunda.
• La definición puede ser intuitiva, pero es importante establecer parámetros claros.
• La analogía con los colores ilustra cómo nuestras percepciones pueden engañarnos.
• La construcción de números puede ser realizada usando conjuntos, pero tiene sus complejidades.
• Definir los números naturales con conjuntos vacíos lleva a una comprensión más clara.

¿No sabes lo que es un número? ¿En serio?
¿Y si no, a ver, qué es un número?
Y no me respondas que el cinco o el siete.
¿Sí, esos son números, pero qué es el cinco?
¿Cómo lo definirías? Fácil, es cinco veces la unidad.

Ay, Mates, Mike, cuidado.
¿Qué? Has vuelto a decir cinco.
Sigues sin explicarme qué es el cinco.
¿Y además tienes que explicarme qué es la unidad, el un qué son los números?
Es algo terriblemente intuitivo.

Y sin embargo, si viniera alguien de otro planeta, no sabría explicárselo.
Y sospecho que tú tampoco.
Espera, Crespo, pero dame más intentos, a ver qué más tienes bajo la manga.
Es que esto me parece un poco demencial.
Todos tenemos una idea natural de lo que son los números.

Si hay dos vacas en un prado, todos estaremos de acuerdo en que son dos, y no siete ni 23.
Sí, pero a veces las ideas intuitivas no bastan, pueden engañarnos.
Another Roof tiene una analogía muy buena con los colores.
Piensa en el verde.
¿Es evidente que este coche es verde, pero ¿y este otro?
Ah, ahora hay espacio para el debate.

¿Y si le preguntamos a un daltónico?
Está claro que necesitamos una definición de verde que no dependa de nuestra percepción objetiva, sin ambigüedades, en la que todos podamos estar de acuerdo.
Es al plantearnos qué es el color e investigar la física que hay detrás cuando nos encontramos la solución.
La luz es una onda electromagnética de un cierto tamaño.
Ondas más anchas tiran al rojo, más estrechas al azul.
Ahí podemos fijar un intervalo de longitudes, llamarlas verdes y ¡boom!

Ya no hay discusión.
Si la luz que nos llega a un objeto está dentro de ese intervalo, será verde.
Y si no, pues no.
¿Así que tiene sentido preguntarse qué es un número?
¿No solo para trascender lo intuitivo, sino para, de paso, responder algo muy importante?

Si el color es resultado de las ondas electromagnéticas de las que está hecha la luz, ¿de qué está hecho un número?
¿A ver, es verdad que con los colores puede haber ambigüedades, pero con el cinco si preguntas cuántos dedos tenemos en la mano?
No creo que nadie tenga dudas al respecto.
¿Por qué querríamos definirlo a partir de alguna otra cosa?
Mira, te voy a dar otra respuesta para dar por sentado lo mínimo posible.

Déjame que te ponga un ejemplo de física.
Cómo no.
Durante un tiempo se pensó que los elementos de la tabla periódica eran, bueno, elementales, los trozos de realidad más pequeños que existen, indivisibles.
Un poco como pasaba con los propios números.
Sin embargo, descubrimos que los átomos sí pueden romperse en tres entidades más pequeñas y que, de hecho, combinándolas de distintas formas, podemos generar todo el abanico de la tabla periódica.

La pregunta es: ¿y si todo el abanico de números también surgiera de algo verdaderamente elemental?
Eso sería estupendo, porque trabajaríamos con la mínima cantidad de elementos matemáticos.
El edificio de las matemáticas se construye dando por sentadas una serie de axiomas, verdades que aceptamos como válidas para tener un lugar de partida.
Cosas como que dos puntos determinan una única línea recta, o que cualquier cosa es igual a sí misma.

A partir de ahí, todo lo demás se puede inferir de manera rigurosa mediante demostraciones más o menos complicadas.
Es verdad que cuantas menos cosas tengamos que asumir como ciertas, mejor, pero déjame que haga otro intento.
Está claro que si vemos cinco vacas, cinco lápices o cinco marcianitos, todos estamos de acuerdo en que comparten algo, la cantidad.
¿Y si definimos el cinco como lo que tienen en común todas estas cosas?
Me gusta como piensas.

A Frege y a Russell también les gustaría.
A finales del siglo 19 propusieron una explicación parecida. Omitiendo los detalles técnicos.
Su idea era definir el número dos como el conjunto de todos los conjuntos de dos elementos.
Será mejor que expliques lo de un conjunto que engloba otro conjunto.
Mira, puedes pensar que un conjunto es simplemente una caja en la que se pueden meter cosas y ver lo que hay dentro.

Y esas cosas que hay dentro de la caja son los elementos del conjunto.
Por ejemplo, puedo tener un conjunto con un plátano y una cereza.
Esos son sus elementos.
Y fíjate que hay dos. Si ahora cojo esa caja y también una caja con dos vacas, otra con dos marcianitos y tantas otras que se te puedan ocurrir con una pareja de elementos y las meto dentro de una caja más grande, puedo decir que esa caja enorme es el dos.
Tiene mucho sentido.

¿Cuál es la propiedad que comparten todas las parejas del mundo?
Todos los conjuntos que puedas imaginarte, en el que hay una cosa y luego otra cosa.
Esa propiedad, esa abstracción, es lo que nosotros llamamos dos.
¡Ale, números definidos. Problema resuelto!
No tan rápido.

Esto tiene un problema, y es que entre todas las cajas con dos elementos también habrá algunas que contengan al dos.
¿Cómo? Sí, claro.
Y es que la caja que contiene todas las parejas del mundo es en sí misma una cosa.
Una cosa que puedo meter en otra caja, por ejemplo, al lado de un patito, y entonces tengo una pareja.
Es decir, que con la misma idea de dos puedo formar parejas, pero dentro de la caja del dos están todas las parejas.

Así que dentro de ese dos también está el dos.
Para que te explote el cerebro.
Oh, no. Nuestra definición sería circular.
Lo mismo que nos pasaba al principio con el cinco veces uno, pero con pasos, es la pescadilla que se muerde la cola.
Bueno, siempre podemos definir un objeto nuevo, una colección de cajas que comparten una cierta propiedad, pero que no es una caja y no puede estar contenida en ninguna otra caja o colección.

Lo que se llama una clase de equivalencia propia.
Sí, pero definir los números a partir de esos nuevos objetos complica las cosas.
Estamos intentando simplificarlas, no liarlas aún más.
En última instancia, esto hizo que el sistema erigido por Frege y Russell fuera abandonado en favor de otras definiciones.
¿Entonces nos olvidamos de definir los números a partir de los conjuntos?
Nada de eso.

La idea de juntar conjuntos y números era muy buena.
Agrupar dos cosas que parecían independientes bajo una misma teoría.
Me recuerdo un poco a lo que pasó en la física.
Al principio parecía que las partículas de las que estábamos formados eran una cosa independiente de los campos que hacían que esas partículas se movieran.
Sin embargo, llegó la teoría cuántica de campos y nos desveló que las partículas en realidad son perturbaciones de los campos.
No había que diferenciar entre partículas y campos. Todo era la misma cosa.

Puede que con los conjuntos, nuestras simpáticas cajas, podamos definir lo que son los números.
No sé, parece difícil.
Mira, tengo una idea diferente, mucho más fácil.
Podríamos decir tal vez que el cinco es el número que va después del cuatro, el cuatro es el que va después del tres, y así hasta llegar al uno, que sería el que va después del cero.
Solo tendríamos que definir el cero y a partir de ahí ya tendríamos todos los números.

Buena esa, Peano ya se dio cuenta.
En realidad, también tenemos que definir matemáticamente ese "ir después", hallar una regla que nos lleve de un número al siguiente hasta construir todos los números naturales, lo que se conoce como la operación sucesor.
Y recuerda que sería increíble si pudiéramos hacerlo usando solo conjuntos cajas.
Vamos, M. Se me ocurre que podríamos identificar el cero como una caja vacía.
Es el conjunto con cero elementos, así que tiene sentido tomarlo como cero.

Me parece bien.
¿Y cómo construimos el siguiente número?
Pues si lo único que tenemos son cajas vacías, quizá podemos meter una caja dentro de otra caja.
Ese es un conjunto distinto al que hemos usado para el cero.
No es lo mismo una caja vacía que una caja con una caja dentro.
A este conjunto lo llamamos uno.

Y hacemos lo mismo para el resto de los números.
Cada nuevo número, metemos una nueva caja dentro.
Por ejemplo, el dos lo identificaríamos con tres cajas anidadas una dentro de otra, como en una muñeca rusa.
Y así, la regla que nos llevaría de un número al siguiente sería para construir el siguiente número, coge el actual y mételo dentro de una caja vacía.
Es bastante sencillo.

Esta idea de construir los números naturales como una muñeca rusa la desarrolló Zermelo y es perfectamente válida.
Pero en realidad no es la que se usa.
Una de las razones es que, fíjate, de este modo, cada número es un conjunto de un único elemento, una caja, que luego puede tener muchísimas otras cajas dentro.
Por varios motivos, resultaría mucho más útil que el conjunto que define a cada número tuviera exactamente ese número de elementos.
Representar el dos como un conjunto con dos elementos.

Recuperar un poco la idea de Frege y Russell y combinarla con la de Zermelo.
¿Se te ocurre alguna manera de lograrlo?
A ver, volvamos al número uno, nuestra caja con una caja dentro.
¿Y si metemos una segunda caja vacía?
Así definiríamos el dos como una caja con dos cajas vacías dentro, el tres como una caja con tres cajas vacías, etc.
No es mala, pero hay un problema.

En un conjunto no puede repetirse varias veces el mismo elemento.
Meter dos o tres o cuatro cajas vacías dentro de una caja es lo mismo que meter una sola.
Imagínate que hacemos una lista de una clase con siete niños.
Aunque escribamos cinco veces el nombre de uno de ellos, la clase seguirá teniendo siete chavales.
Solo cuentan los nombres distintos.

Tengo otra idea.
¿Has dicho que lo que queremos es que el conjunto que representa el dos tenga dos elementos, verdad?
Ajá.
¿Y si para definir el dos cogemos una caja vacía y como sus dos elementos elegimos el cero y el uno?
Es decir, una caja vacía, una caja con una caja.

Y lo mismo para definir el tres, cogemos el cero, el uno y el dos y los metemos todos dentro de una caja.
Así tendríamos un conjunto con tres elementos, todos distintos.
Lo que queríamos. ¡Oh, muy bien, Mike!
Has llegado tú solito a la definición moderna del conjunto de los números naturales, los que usamos para contar, a partir de la teoría de conjuntos, la que desarrolló von Neumann.
Estoy impresionado.
Cualquiera diría que eres matemático.

A ver, fracturas, que soy matemático.
Todo esto ya lo sabía.
Te he seguido un poco el rollo porque veía que te hacía ilusión.
¡Seguridad! No, esperad.
¡Soltadme, soltadme!
Matemáticas. Miguel, amigos.
Fabuloso canal. Vayan a verlo.

¿Pues sí, de qué está hecho un número?
La mejor respuesta es de cajas vacías.
Y a partir de esta definición de los naturales podemos construir los enteros y muchos más.
¿Cómo definiríamos, por ejemplo, el menos tres?
Pues una manera es pensar en parejas de números naturales tales que si al primero le restamos el segundo, obtenemos menos tres, parejas como el uno y el cuatro, el dos y el cinco.

Podríamos pensar que el conjunto de todas esas parejas es el menos tres.
¿Y alguno me dirá y esa definición no sería circular, como la de Frege y Russell?
No, fíjate que he dicho todas las parejas de números naturales.
Y es que según la teoría moderna de conjuntos, solo podemos construir conjuntos a partir de otros previamente definidos.
Así puedo meter en mi caja todos los conjuntos formados por dos números naturales, pero no todos los conjuntos con dos elementos.

Eso es demasiado vago y daría lugar a problemas como el que hemos visto.
¿Quién hubiera dicho que con un montón de cajas, eso sí, ordenadas de una manera muy concreta, podríamos responder a una pregunta tan profunda como qué es un número?
Pero antes de que os vayáis, una cosa más.
Acabamos de publicar en el canal del Centro español de Metrología un vídeo sobre el mol, la unidad más sustanciosa.

Hablaremos de su historia, sus controversias, qué es exactamente y os explicaremos cómo podemos saber que un mol vale un mol.
Tenéis link aquí abajo en la descripción.
Y ya sabes, si quieres más ciencia solo tienes que suscribirte.
¡Y gracias por vernos!