第六届东芝杯二等奖 正态分布

• 各位同學下午好，我是今天的1號參賽選手，演講題目為「談你對義務教育數學課程標準201版從雙機到四機的理解」。
• 2011年從雙機發展為四機，增加了基本的思想和基本活動經驗。
• 數學課程改革的目的在於學生思維的發展及數學文化的教育作用。
• 高斯曲線和正態分布是我們今天的學習重點。
• 數據的收集和繪製直方圖是理解數學分布的重要環節。

各位同學下午好，我是今天的1號參賽選手，我抽到的即興演講的題目是談你對義務教育數學課程標準201版從雙機到四機的理解。下面進入我的即興演講環節。

2011年義務教育課程標準提出了雙機及基本知識和基本技能，2011年將雙機發展為四機，增加了基本的思想和基本活動經驗。那麼，為什麼要將雙機發展為四機呢?

首先值得肯定的是，雙機作為我國數學教學的一個顯著特點，是我國教學的優雅傳統，它對中國教育事業的發展起著巨大的作用。但是數學教學並不等於雙機本身，它還應該注重學生思維的發展、數學三大能力的培養，以及數學史數學文化對學生的教育作用等等。

因此，將雙機發展為四機是人類社會謀求發展和創造的必然結果。基本思想和基本活動經驗要在一定的雙機的基礎上形成，形成數學的思想，用數學的思維來解決問題是歷來課標強調的目標之一。如果我們忘記了所學的數學知識，但如果說函數的思想、極限的思想、數型結合的思想依然存在於我們的腦海之中，那麼這樣的教育就是成功的。

其次，為什麼要提出數學活動經驗呢? 因為在數學學習的過程中，不僅讓學生學習到了客觀的知識，還形成了主觀的認識，這就是具有學生個人特色的數學活動經驗。比如在進行整數跨減運算的這種基本的思路，就是學生對數學真正的理解。

總而言之，從雙基發展到四基，它是時代發展的召喚，是課程改革的完善，同時也是學生發展的需要，當然這也對我們需要的工作者提出了新的考驗。我的即興演講到此結束，謝，結束計時開始打分，打分結束。

接下來是我的模擬授課環節，請同學們看大題目。這是一張面值為10的德國馬克，在這張紙幣上有一個頭像，他是著名的數學家、統計學家、天文學家，他是誰? 高斯。

很好，高斯從小就有數學王子的美稱，他一生的成就數不勝數。其中，最美的成就就是植地上這條中型的曲線，我們把它叫做高斯曲線，也叫正太曲線，它刻畫了一種分布，叫高斯分布，也叫正太分布。今天就讓我們一起來學習什麼是正太分布。

為了更好地理解今天的知識，讓我們首先來完成一個小實驗。請同學們看到老師手中的這個實驗器材，它是數學中用於做統計實驗的器材，叫做高爾頓釘板。讓我們一起來觀察一下它的結構，可以看到它的上方均勻分布著若干排相互平行但又相互錯開的釘子，下方則是一排間距均勻的球槽。

我們將球槽從左到右依次編好，現在老師取出一個小球讓它從上方入口落下。同學們猜一猜它會落到哪一個球槽當中? 那這位男同學也來猜一下，7號? 好，我們來試一下，摸到了幾號? 1。

那如果再扔一個小球，是否還會落到1號呢? 來，這位女同學你再來猜一下，6號? 好，我們來看一下這次摸到了6號，同學運氣很好啊。實際上，我們都知道小球落下的位置，我們根本沒有辦法事先確認，所以它是一個隨機事件。

很好，這只是一個小球的實驗情況。如果用大量的小球進行實驗呢，它的分布會不會呈現出一定的規律? 現在請同學們仔細觀察20個小球的實驗情況。好，仔細地看，我們再來一次。兩次實驗都看到20個小球呈現怎樣的規律? 中間高兩點。

那如果是更大數據的小球實驗呢? 是不是同樣的有這樣的規律? 現在老師用計算器進行更大數據的遊戲。好，假如我們取多少個小球? 一千個。好，讓它演示三次，點擊開始。請同學們仔細觀察，一千個小球同樣呈現出了中間高兩邊低。我們再進一步觀察，還可以發現小球左右兩邊的分布是大致對稱的。

那麼，這樣一種中間高、兩邊低、左右大致對稱的分布只是這個實驗具有的嗎? 換句話說，它只是一種偶然的情況嗎?

在這堂課，老師讓同學們去收集數據、整理數據，並繪製頻率分布直方圖和折線圖。現在請三個小組的同學分別上台展示你們所繪製的作品，並告訴同學們你們做的是什么。這是我們讀過的身高的頻率分布直方圖和折線圖。

很好，這是我們組做的初二年級非活量頻率分布脂肪圖和折線圖。很好，這是我們小組做的高一體重頻率分布脂肪圖和折線圖。同學們完成的都非常的認真，在這里老師也繪製了一個脂肪圖，它是全校學生身高的頻率分布脂肪圖和折線圖。

現在請同學們看到黑板上，我們的黑板上有身高、體重還有肺活量三種不同的數據，但它們都呈現出怎樣共同的特點呢? 中間高、兩邊並且左右大致是對稱的，由此可見這種現象絕非偶然，這就是我們今天要學習的正胎分布。而剛才的高爾頓釘板實驗，正是用來近似地模擬正胎分布的性質。

回過頭來，我們再看一下這幾個直方圖。請同學們回顧一下，在直方圖中每一個小矩形的面積有怎樣的含義呢? 很好，對應區間內的分佈的情形。所以在一個直方圖當中，所有矩形的面積之合適等於一定的。

再次考慮這幾組脂肪圖是否就反映了全省或者說全國的中學生的身高體重最後那樣的頻率分解的情況呢? 不是，為什麼不是? 有哪位同學可以幫我們解答? 這位女同學來寫一下，為什麼不是? 因為樣本量太小了，容量太小了，應該增大一點。還有嗎? 同學們，這些數據是一个学校的，所以它是具有一定的代表性的。

很好，請坐。樣本小了，或者說樣本具有一定的代表性，都使我們的直方圖不能很好地體現整體的分布規律。請同學們再看，我們黑板上有兩組直方圖是關於身高的。

那麼這兩組直方圖有什麼不同之處呢? 觀察一下，組織不同，還有呢? 樣本一樣，的不同。那麼這兩個直方圖哪一個相對較好地反映了整體的分布規律? 全校。

由此就啟發我們要讓直方圖更好地反映整體的分布規律，我們可以採取哪些措施? 增大樣本量，使得我們的數據更加全面，還有呢? 縮小數據，使我們的統計更加精細。實際上隨著樣本量的不斷增大，也就是這些數據身高、體重、肺活量以及小球數量的不斷增大，同時組聚的不斷縮小，可以看到折線圖將越來越趨近一條光滑的曲線。這條曲線我們把它叫做正胎曲線。

正胎曲線實際上就刻畫了這些數據的行為增幅情況。有了曲線，我們自然就要想到曲線的方程，那麼正態曲線的方程是什麼樣子的呢? 其實這個問題早在18世紀高斯在對誤差分析的過程當中就已經解決了。他通過微分和積分的運算得到了正態曲線，實際上就是函數Px的函數項，我們把這些叫做正態密度函數。這個函數看似複雜，其本質就是一個系數與一個以1為底的指數型函數的乘積，其中π跟μ是我們熟悉的常量，μ跟σ是參數，分別代表了整體隨機變量的數學期望和標準差。數學期望也就是整體的均值，而標準差則刻畫了隨機變量向均值集中的程度。

回過頭來，我們再看一下這條正態曲線，很明顯它有且僅有一個波峰。那麼根據函數Px，我這邊看一看，當x取多少的時候達到了正態曲線的最高處呢? x等於μ的時候就達到了正態曲線的峰值，並且我們可以看到正態曲線還是關於直線x等於μ左右的最直。

好了，通過剛才的分析我們就知道了高爾頓釘板實驗中小球的分布，實際上呈現這樣一條正態曲線。那麼現在讓我們進一步地思考一個問題，假如我去掉高爾頓釘板底部的球槽，那麼我能否計算小球落在某一段上的概率呢? 換句話說，如果去掉底部球槽並沿水平方向建立好坐標軸，同時用F表示落下的小球與釘板底部第一次接觸時的坐標，再認取一個區間AB，那麼請問我能否計算小球落在區間AEB上的概率呢? 換句話來說，我能否計算小球落在區間AB的概率呢? 可以怎麼求區間面積? 誰的面積? 區邊地形的面積，也就是圖中這塊藍色區邊地形的面積，對嗎?

這是為什麼? 好，這位男同學你來試一下，這是為什麼? 因為這個影子的面積，它就代表了我們的頻率，而當我們的樣本量足夠大的時候，我們的概率是近似等於我們的頻率。很好，請說。也就是說，在大樣本重複實驗的過程中，隨機變量落在某一段上的頻率是等於概率的。而區間的曲邊梯形可以看成是多個矩形的面積之和，也就是x落在區間AE上的概念，那麼我們怎麼計算區邊的面積呢?

積分! 很好，要積分，我們就得用到正態曲線的方程，對吧? 因此我們就得到了隨機變量x落在區間AE上的概率就是正態密度函數Px在區間AD上的積分值。我們把隨機變量滿足這樣一個式子的定律就叫做正態分布。下面讓我們一起給出正態分布的定律。一般的對於任何時數a小於b，並且Px表示的是正態密度函數，如果隨機變量x滿足x在區間AB上的概率等於正態密度函數在區間AB上的積分值，那麼我們就稱隨機變量x的分布為正態分布。

由於正態分布完全由參數μ跟σ取決，所以我們常將它記為隨機變量x服從以μ跟σ為參數的正態分布。其實只要同學們留心觀察生活，就會發現正態分布無處不在。曾經有人用了這樣一段文字對正態分布給予了極高的評價，他充分肯定了正態分布在自然科學和社會科學等諸多領域發生的巨大作用。不僅如此，正太分布的無窮魅力還吸引了哲學家的思考和探索。它啟發我們要用整體的觀念來看待事物，如果以偏概全，就可能走向正太分布的兩個極端，導致盲人妄想，導致只見樹木不見森林的現象。

同時，它還啟發我們要抓住事物的重點，正態分佈的主體集中在中間部分。抓住了重點也就抓住了主要矛盾，才能提高解決問題的效果。

好了，今天的學習已經接近尾聲，讓我們一起回顧一下今天我們學習了什麼? 正態分佈，對不對? 知道了正態分佈是在隨機的大數據當中所得。那麼正態分佈具有怎樣的分佈特徵呢? 中間高兩邊低，並且關於均值是左右對稱。

最後再讓我們回到這張德國馬克的圖，其實這幅圖片當中還隱藏了很多的知識，請同學們課後仔細思考，看看你還能發現正態曲線具有哪些特點。好了，今天的課就到這裡，謝各位，結束計時開始打分，打分結束。

我問你一個問題，你這節課的教學創新點在哪裡? 可不可以為我們介紹一下? 本節課我滲透了數學史以及數學文化，讓學生感受到數學來源於我們的生活，但是它又服務於我們的生活，讓學生看到數學的應用價值。其實我在實習的時候，對於這節課的話，老師們可能更多的只是幾分鐘就把知識給講完了，然後就是學生的課題，學生不能很好地感受到正態分布的無窮魅力。

這是第一點。第二點，教育是把燈點亮，而不是把男子装满。教育是把燈點亮，但是不是把男子装满。在這裡，我提出了一些探究性問題，運用探究的方法來引導學生學習。這是為了讓學生更好地理解數學的思想以及數學的內容。