第五届全国青教赛10号选手光与影的降维智慧--线面垂直及其判定

• 各位评委老师好，今天我讲的题目是 光与影的降维智慧。
• 我们将讨论 线面垂直及其判定。
• 回顾一下空间中直线与平面的 位置关系。
• 我们的主要目标是学习 线面垂直。

各位评委老师好，我要讲的题目是光与影的降维智慧线面垂直及其判定。
同学们好，前几节课我们已经学习了空间中直线与平面的一些位置关系，那请大家来回顾一下空间中直线与平面有几种位置关系呢？来，你说一下。
你说有线在面内、线面平行、含有线面相交。其中线面相交又分为线面斜交和线面垂直，非常好。
那么这节课我们就主要研究线面垂直。

下面请大家来观察一下，旗杆和塔与地面分别呈现什么样的位置关系呢？
你来说。你说旗杆从直觉上来说，它是竖直的，那我可以理解为它与地面垂直。
这个塔它看起来是倾斜的，那它与地面就不垂直。你说得很好。
那么在我们教室里面有没有这样的线面垂直的位置关系呢？你来说。
你说我们这个教室的这个墙角它的棱跟地面就是垂直的。还有我们这个空调机它的侧檐和地面也是垂直的。
啊，还有吗？你说黑板的这个侧檐和地面也是垂直的。非常好。
像这样垂直的位置关系在我们生活中也不少见。

现在大家来看一下，在我国古代呀通常是使用 日轨 去作为计时工具的，通过观察轨针在轨面上的投影的位置来确定时间。
那我们现在知道轨针和轨面啊是垂直的，那轨针和它的影子是什么样的关系呢？
我们不妨借助数学软件来判断一下。来，随着光线的移动，它在地面上投下的投影的位置也不同。
哎，你说得很好，这个轨针和它的投影是垂直的。
那我现在把其中任意一条影子进行一个平移，也就是说把原来的影子记作BC，现在平移到B'C的位置，让这个影子啊跟它的底部不相交。
那我能说这个轨针和它平移后的影子也垂直吗？也垂直。为什么呀？你说。
你说我们以前学过，一面垂直平移之后，这不就相当于他们之间是一个一面垂直的关系吗？非常好。
那是不是我们就可以说明直线与平面垂直的时候，它就与平面中的任意一条直线垂直呢？好，这就是线面垂直的定义。
如果直线与平面内任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面垂直，记作L垂直于α，其中直线L叫做平面的垂线，而平面α则称之为直线的垂面。

那我们在表示这个图的时候大家注意啊，你要把这个直线画的和用来表示平面的这个平行四边形的一组对边相互垂直，这样我们对垂直的这个直观感受比较强。
当然这个定义我们也可以用符号语言去进行描述，平面内任取的直线我们不妨把它记作ML，垂直于M即可推出L垂直于平面α。

好了，学完了线面垂直的定义，现在请大家来看一个思考。
如果我把定义里头的“任意”改成“无数”，我说一条直线与平面内无数条直线都垂直，则这条直线一定垂直于该平面吗？请大家思考一下。
你来说。你要上台演示。他说我们三角板的两条直角边就是相互垂直的，把一条直角边放在这个桌面上，另一条直角边放在桌面外。
那此时我可以过桌面内的这个直线在桌面上做它无数条平行线。那么外部的这条直线不就和底下这无数条直线都是垂直的吗？但是它并不能保证和这个桌面是垂直的呀。
他说得很好，我们可以看到他相当于是举出了一个反例去说明了这个问题。

好了，那我把这个思考一给它反过来。如果一条直线垂直于一个平面，那它垂直于平面内无数条直线吗？我听见同学说垂直。
再来看一个思考，如果一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面中任意一条直线吗？我把思考二里头的“无数”呀又改回了“任意”。
那大家一口同声的说垂直，实际上有同学已经发现了，这个思考三不就是把线面垂直的定义给它反过来了吗？
把这条定义反过来说我们也可以把它作为一条性质去直接使用。

下面请大家来看一个探究。学校要在中心广场安装一根国旗杆，请大家以小组为单位设计一个安装方案。
我们怎么操作才能确保国旗杆与地面垂直呢？大家可以拿出我们课前发给大家的工具来讨论讨论。
好，我看到第一小组同学已经完成了，来派代表来说一下。
第一小组同学说了，他们在桌面上拿了八个三角板，然后用这八个三角板把表示国旗的这个杆给它卡住。
哎，这样就能够保证它垂直了，我们只要让每个三角板的直角边都贴着这个线，另一条直角边紧紧的贴着这个平面就可以做到。

第二小组有不同意见，来你说一下。
第二小组同学说了，用不着八个，我们用四个三角板把它卡住就行了，确实是这样的话我们的功夫是不是就能省一半了。
第三小组你还有不同意见，你说一下。
你说你连四个都用不着，你用两个三角板就能把它卡住。那边有同学摇头呢？
你说如果是两个三角板的话，万一这两个三角板它们在一个平面内，那这个国旗杆，它不就会前后摇晃吗？这就卡不住了呀。
你又补充意见，你来说，你还是赞同第三小组同学的想法，我们用两个三角板去把这个国旗杆卡住，只要保证这两个三角板不是共面的，那不就行了吗？

好，那么大家来思考一下，你真的是用三角板把这个国旗杆卡住了吗？
其实我们是利用这两个三角板给了它一个伸展的方向，让国旗杆沿着这个方向去竖立。好，这个探究问题解决了。

大家来看一下下一个问题，拿出我们课前准备的三角形纸片。咱们把这个三角形纸片就记作ABC吧，顶点记作点B，然后让它过这个顶点点B折一下，会产生一条折痕。
我们让这个纸片立在桌面上，我希望这个折痕能够与这个桌面是垂直的，大家能不能做到？大家可以尝试一下，也可以相互讨论。
你来说，你经过了好几次尝试，发现我只要折的时候把这个纸片让它对折，也就是让它的下部这个边是重叠的，完全的重叠就可以保证让这个折痕立在桌面上了。

好，那你能不能说一下这个时候你这个折痕在三角形中扮演了一个啥样的角色啊？
你说这个折痕此时就是三角形的高，过点B向底面AC做高，非常好，那其他同学也是这么做的吗？你也是通过做高去处理的？很好。
那我们现在已经认识到了折痕BD此时是AC边上的高，也就说明此时BD所在直线与平面α是垂直的。
而我们能不能用符号语言，用数学语言去描述一下这个过程呢？来，你说。
你说这个折痕BD我就可以把它记作一条直线L，而它底边的CD和AD可以看成两条相交的直线。那此时不就说明L和平面内两条相交的直线M和N都垂直吗？非常好。

那大家来看，我现在把这个直线L平移一下，你看让它不同过这个点P。那此时还能不能保证直线L与MN是垂直的呢？
你来说，你说此时还是垂直的，这跟我们刚才说的那个异面垂直是一样的，
此时直线L与M和N都保持异面垂直。你对咱们前面的知识掌握得非常好。

实际上这就是线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线就与这个平面垂直。
当然我们也可以用符号语言去对它进行表述，现在平面内有两条相交直线，我们依然把它记作MN，但是要保证M和N互相相交，让L垂直于M，也垂直于N，就可以推出直线L垂直于平面α。
好，大家来注意一下，我们这个判定定理它是几条推一条呀？
很好，五条推一条，我们在书写的时候啊，一条都不能少。

好，现在大家来看一个问题，我这有两个正方体，正方体里头各自画了一条红色的直线L以及蓝色的对角面ABC'D'。
大家能不能判断一下这个红直线和蓝平面是不是垂直的呢？你说，你说第一幅图里直线和蓝平面不垂直，为什么呀？
你说发现蓝平面里已经能找到一条直线BC'和L是不垂直的了，那这不符合定义啊，定义不是要求任意一条直线都要跟它垂直吗？
很好啊，你对这个定义的掌握已经很好了，可以活灵活现的去使用它，相当于举了一根反例。
那第二幅图呢，哎，你来说吧。
你说第二幅图你认为是垂直的，首先右侧面是一个正方形，
那它的两个对角线垂直，也就是L垂直于BC片。又因为在正方体中，它的棱AB和右侧面是垂直的，根据线面垂直的定义，那AB也垂直于直线L，而AB和BC瓢是相交的，那L不就垂直于蓝平面中的两条相交直线吗？这样可以判定线面垂直。

好，那么我们把这个过程啊用数学符号语言去表述一下。首先我们是在正方体中进行的，正方体也可以简写为AC瓢，在正方体AC'中我们有侧棱垂直于面，那么AB垂直于平面BC'B。好，然后下一句我们要说现在面内且L在平面BCC'中，由此可得出AB垂直于直线L。
好，该出下一条直线了，下一条直线是用正方形的性质得出的，对吧？
又因为在正方形BCC'B'中，对角线相互垂直，我们写成L垂直于对BC'。
好，别忘了，你这两条直线AB和BC'是相交的，我们说AB交BC'B。
由此可以得出直线L垂直于我们的蓝平面ABCD。
好了，大家在书写的时候啊，也一定要注意证明的严谨性。
这里咱们找一些关键步骤来，我们看一下，首先这里有一个对线线垂直，这还有一个线线垂直，上边是他们得出来的依据，
最后我们要写一个什么对线线相交，然后由这三个我们推出了L垂直于平面。前边我们可以说这里用到的是定义，而后边用到的是判定定理。

好了，那么我们再来看一个问题，在正方体中你还能找出哪些线面垂直关系呢？大家可以以小组为单位进行一下讨论。
你说一下。你说你先找出来了侧棱和底面是垂直的，没有问题。在正方体中啊，它任意一条棱都与跟它相交的两个面是垂直的。
你还说你找到了面对角线B'D'，它和对角面A'ACC'也是垂直的，没问题，这个我们不是刚才已经证明过了吗？很好，还有吗？
你说你找到了棱，找到了面对角线。你又尝试着去找了一下体对角线B'D，你认为和这个三角形平面A'BC'是垂直的，为什么呀？
你说你直观上直觉觉得它是垂直的，那我们可不能凭直觉来。
大家看一下，此处我们可以把这个体对角线B'D放在一个平面，也就是对角面BDD'B'中，刚才咱们不是已经证明过了这个A'C'它作为一个对角线和这个对角面是垂直的，根据定义不就跟这个体对角线也垂直了吗？而我们知道正方体是对称的，那你当然也可以把这个B'D放在另外一个对角面里，你去证明和三角形的另一条边垂直，这个事留给大家课下去完成。

我们来总结一下这节课，我们由生活中的线面垂直抽象成了数学中的线面垂直问题。
我们可以用平面中任意一条直线垂直去定义线面垂直，当然反过来也可以把它作为一个性质去证明线线垂直。
我们也可以用平面中的两条相交直线去判定线面垂直。
课后作业分为B作题和选作题。
除了我们刚才给大家要求的布置的这个作业以外，
再证明一个，这叫三垂线定理。
选作题需要大家以小组为单位去设计或者改良一种检测墙面垂直度的工具，并且撰写报告与其他同学交流。这节课的内容就到这里，下课。同学们再见。

下面是我的教学阐释。首先是第一部分教学内容分析，本节课选自仁教B版必修第四册第十章四点一节直线与平面垂直。同时我还参考了仁教A版教材中的相应内容。
因为这节课的引入是借助中国古代传统计时工具日轨，用日轨和它的轨面垂直，以及与投影垂直，从三维的空间垂直关系降维到了平面中的二维垂直关系。
因此我又把这节课命名为光与影的降维智慧线面垂直及其判定。线面垂直关系啊，它是空间中垂直关系的一个核心所在。
它既是线线垂直与面面垂直的中介，也是后续进一步学习点面具线、面具面、面具线的一个基础。
其中从线面垂直的判定定理，它是相当于把线面垂直定义中的任意转化成了两条相交直线。由此可以体现从复杂到简单，从无限到有限的一个转化，也可以从中体现以简御繁的一个教学策略。

在这个过程中我们也可以看到此处体现了本节课的教学重点，那就是如何抽象并归纳出线面垂直的定义，以及如何才能发并验证线面垂直的判定定理。
接下来是学情分析，本节课的授课对象是高一年级的学生，他们已经学习了线面平行的判定定理，因此我们可以通过类比的方法去强化学生降维和平面化这样一个思想。此外，
学生的实际生活中也有着对线面垂直的一个直观感受，也便于我们从具体到抽象的去展开教学。
但是呢，学生把空间问题转化成平面问题来解决的意识和能力还不够强，这也是需要突破的难点。此外，从高一年级学生的心理特点上来说，他们更倾向于凭借直觉和经验去判断线面垂直，而不习惯于用严谨的数学符号语言去刻画或者去证明线面垂直，这也是本节课需要攻破的第二个难点，
如何用数学符号语言去描述线面垂直的定义判定并对其进行应用。

基于以上的教学内容和学情分析，我将教学目标制定为以上四条：
一、通过对实例图片的观察，抽象并归纳出线面垂直的定义，并且能够正确理解，发展学生的数学抽象和新素养。
二、通过对数学实验的直观感知操作确认，能够发现线面垂直的判定定理，并对其在实际的简单问题中进行应用，发展直观想象和逻辑推理素养。
三、能认识到线面垂直的判定与线面垂线面平行的判定在知识结构与学习方法方面的逻辑一致性，体会研究空间位置关系的判定的一般思路与方法。
四、在探索线面垂直判定定理的过程中去发展合情推理能力，同时感悟并体验空间问题转化成平面问题，线面垂直转化为线垂直，无限转化为有限这样的数学思想，发展逻辑推理素养。

为了实现以上教学目标，突出重点并突破难点，我采取了数学实验教学法和问题教学法，借助数学软件直观抽象以及数学实验操作确认，让学生自主的去发现线面垂直的定义以及判定定理，能够从中归纳出他们的核心特征。对于定义来说，那就是直线的任意性；对于判定定理来说，而是两条相交直线这样一个重要特征。
以下面是具体的教学策略。本节课以生活中的线面垂直，并且结合日轨中轨针与面、轨针与影子之间的垂直关系，引导学生逐步归纳出线面垂直的定义。
在这个过程中也培养学生用数学的眼光观察世界这样的能力。
整个教学过程围绕一个核心问题，那就是线面垂直定义与判定定理的发现以及理解，以问题链为驱动，展开以学生为主体的任务型探究型互动型的教学。

其中的探究一主要是让学生借助于数学实验自主操作进行确认，在这个过程中去强化学生降维和平面化这样一个思维特征。
当然这个实验也引发了学生非常热烈的讨论，包括我刚才演示出来的这些情境，都是在实际教学中学生提出来的想法。而在探究二中，则更多的强调把现实生活中的实际的这个垂直问题给他抽象成数学符号语言去表述，培养学生用数学的思维思考世界。
而探究三则放手让学生去寻找正方体中现有的垂直关系，以一个开放性的议题，让学生自主去进行寻找，并且在这个过程中让学生感受到，我们不仅要能够利用定义和判定去找出现面垂直关系，而且还要进行严谨的符号书写，培养学生用数学的语言表达世界这样的一个能力。

教学评价也贯穿于整个探究过程的每一个环节。每一个探究既开启了新的知识点，也是对上一个环节中学生对其中蕴含的思想方法迁移掌握应用的一个考察。
结合具体内容展开过程性评价。最后的课后作业是分层设置的，其中的选作题鼓励学生以小组合作的形式展开对检测墙面垂直度的工具的一个设计或者改良，让学生把课上的内容延伸到课后，培养学生从学会到会学的能力。
也在这个过程中通过跨学科的教学去实践STEAM教育理念中数学与科学技术工程之间的有机融合。以上就是我的全部会报内容，感谢各位评委。