师范生试讲4｜充分条件与必要条件

• 在初中课堂上，我们学习了命题的概念。
• 命题是一种表达方式，可以判断真假，分为真命题和假命题。
• 通过若P则Q的形式理解充分条件与必要条件的关系。
• 探讨了几个具体的命题及其真假，通过逻辑推理得出结论。
• 联系生活和数学校例，理解逻辑概念的实践应用。

上课，同学们好，请坐。

在初中，我们学习过命题，他有同学记得命题的概念吗？好，你来说。

哦，他是用语言符号或式子表达的，可以判断真假的成数据。很好，请坐。

你们注意，他是一种表达方式，而且是成数据。同时他可以判断真假。

我们将判断为真的命题称为真命题，他能够假的呢？假命题。

其实在中学，很多命题可以写成“若P则Q”的形式，这就是“如果P，那么Q”的意思。

这里的P成为命题的条件，Q成为命题的结论。即在P这个条件下，是否有Q这个结论成立。

这是我们本节课探究的命题形式。

可以发现在这样一个形式下，我们能够明确地知道条件是什么，结论是什么，这也变于我们这节课探究条件P和结论Q的关系。

那么首先，我们来看这样一个命题：“若我是武汉，则我是湖北人”。这个命题它的条件是什么，结论是什么？

它的条件是“我是武汉”，我们有P变式；结论是“我是湖北人”，有Q变式。

这个命题，它是真命题还是假命题呢？好，你来说。

由于武汉市在湖北省内，所以它是真命题。我们将这个真命题用一个符号去表示，为了数学点方便，我们用这个记号：当P推出Q时，这就是P->Q为真命题。

那么在“若我是武汉人，则我是湖北人”中，“我是武汉人”能够充分地说明“我是湖北人”。所以我们还得到了一个逻辑用语：就是“我是武汉人是我是湖北人的充分条件”。

我们仍然减写P->Q为充分条件。

那么老师有一个疑问：“我是湖北人”，你够说明“我是武汉人”吗？你说我呢，因为我是湖北人，还可能是金门人、通山人，非常好。

所以这意味着“我是武汉人”，我前提得是“湖北人”。如果我不是湖北人，那我一定不是武汉人。

也就是说，“我是湖北人”对于“我是武汉人而言”是必度可少的，是必要的。

那么我们已经得到了第二个逻辑用语，必要条件是Q是P的必要条件。

这就是我们正确可押学习的充分条件和必要条件。

刚才这个就是我们的定义，当然是一般的定义，所以我们给出了“如果P则Q”为真命题的三个等价叙述。

第一个是符号语言，后面两个是逻辑用语。

那么同学们能不能说一说，举一些真命题的例子来等价地去描述它呢？给同学说这些项目交流一下。

看来大家讲的都不错，我听到大家说的都是正确的，有生活中的例子，也有数学中的例子。

前面几节我们学习了集合这个概念，能不能从集合这个角度去理解一下充分条件和必要条件呢？

我们一起来看一看，对于这样一个命题，我们将它转化为集合语言，怎么转化？

首先条件里面出现在集合式上“武汉人”，结论里面呢“湖北人”。那现在你能够把它写成集合语言吗？

若我是武汉人，若X属于武汉人，则“我是湖北人”，X属于“湖北人”。

对于条件和结论里面的这两个集合，它们有什么关系呢？

你发现这是一个真命题，此时它的两个集合“武汉人”是包含于“湖北人”的。

能不能也把它抽象到一般情况，首先写出这样一个“若X的Q”命题的集合语言表述。

那么就要先有集合A，它是X-PB->X。此时它要是真命题的话，我们需要A包含于B，对不对？

那这个时候我们就能够推出“若X的Q是真命题”，也就是这三个等价的叙述。

接下来我们来做两道题巩固一下，请同学们拿出导学案看一看，判断题1的三个命题的真假。

如果是真命题，应用这三个等价的叙述理解一下充分条件。

我看大部分同学已经做完了，那我们来看第1题：“若A等于B，则AC等于BC”，它是真命题吗？请你来说。

我根据能识的性质，它是真命题。所以用这三个非常佳的表述是A等于B能够推出AC等于BC，A等于B是AC等于BC的创造判条件。

AC等于BC是AC等于BC的必要条件。

那我们来看第二题：“若平行四边形对象限项目垂直，则它是矩形”，大家都在点头，为什么呀？因为它就是矩形的判定。

矩形，这里我们通过一个判定，能够迅速地判断说它就是它的创造判条件。

再来看最后一个：“若两个三角形相等，则两个三角形的周长相等”，它就是三角形相等的一个特点。

我们这里把它推纳成，您可以说是与性持相。

那这三个命题都是真命题，将它们等价转述为这三种等价的描述，相信同学们也没有问题。

接着看题二的三个命题，老师给同学们三分钟时间。

（时间到）第一个：“若X平方等于E，则X等于E”，它是讲命题。为什么？

有X平方的于E，我们能够得到X等于E或X等于负E，而结论只有X等于E，因此是讲命题。

第二个：“若四边形是T形，则...”，X四边形是P形，四边形T形和P形是两个并列的概念，显然这个命题是不正确的。

第三个：“若四边形是L形，则X四边形是G形”，我们想到L形和G形特殊到正方形的时候，这个命题确实可以争命，但一般话而言，它显然也不是争命的。

那么我们命题二就是三个假命题，对于真命题二，我们有三个等价的叙述。

那对于假命题二，能否也给出它的三个等价叙述呢？请同学们小组讨论三分钟，好。

大家来分享一下你们的结果，“若P则Q”为假命题了吧，是怎样的？

则P不能够推出Q，而P呢？不是Q的双分条件，Q也不是P的必要条件，其他三个等。

所以也是这个答案，非常好！但都很聪明，能够类比着得到假命题的三数码。

刚才通过对于真命题研究之后，又从集合的角度去认识了一下它，那现在能否从集合的角度去解释一下为什么第二的三个命题都是假命题？

老师去试一下可以从维恩图的角度去看的，比如说这里，当我们回真命题的时候，A包含了一遍，它意味着条件里面的集合是结论里面的集合。

这是用维恩图判出来的，就是P在Q里面。

那么你们竟然去分析题二的三个集合关系呢？好，请你来回答你的结果。

第1个“RxB1”它包含的是1和-1，所以它是包含着结论Q的。

那第2个呢？“RxB形式T形”，则在四面形式凝形，四面形，我们刚才说没错，它是一个并列的关系。

那第3个呢？刚才说当它们特殊到正方形的时候有交叉，所以“RxB形式0形”则“RxB形式举行的计划”。

同学，你看是这样的，而这三种情况都会包含P包含Q这种计划。

因此我们也可以从集合的角度结合关系的角度去解释它。

还有一个问题，老师最后教同事呢思考一个问题，你能不能写出平形四面形式平形四面形的一个充分条件和一个必要条件呢？

我看大部分已经写完了，你们同桌之间相互看一看对方的结果，你们的结果是一样的吗？

好，大家已经发现了不太一样，那它们之间有什么共同点呢？

一开始，我们那天是不是发现充分条件和判定定理让它性质和必要条件有些关联？

你们的呢？好，发现了充分条件和判定定理之间，和必要条件和性质定理之间是有关系的。

同学们可以在课下再多去体会体会。

所以说因为我们的判定定理和性质定理是不唯一的，所以充分条件和必要条件也是不唯一的。

这位同学们再课下去体会体会。

那么以上就是我们全部的探究内容，现在同学们来总结一下今天的学习。

好，你来说，今天学习了充分条件和必要条件的整个概念，你有补充？

还从集合的角度去认识充分条件和必要条件。你还有补充？

刚才提到了判定定理和充分条件、性质定理和必要条件之间有密切的联系。

没错，在新的预计下将旧知和新知结合起来，我们不仅能够对旧知有新的认识，也能够加深对新知的理解。

希望同学们在课下多去体会体会，及时地复习，完成作业。

今天的课就上到这，下课。