弹性力学简明教程(徐芝纶)(高等教育出版社)(第五版)教材配套视频

• 今天我们开始上弹性力学及有限单元法这门课。
• 这门课实际上由两部分组成，一部分是弹性力学，一部分是有限单元法。
• 我们将介绍弹性力学的基本概念、模型以及研究内容。
• 弹性力学的研究对象是弹性体，它们受外力、边界约束和温度的影响。
• 本课程将帮助我们理解如何解决工程实际问题。

今天我们开始上弹性力学及有限单元法这门课。
这门课实际上由两部分组成，一部分是弹性力学，一部分是有限单元法。大家之前已经学过一些相关的力学课程，
从理论力学、材料力学、结构力学到现在的弹性力学。一般来讲，在本科阶段，从纯力学课程而言的话，
它应该是最高境界，就是说从本科阶段学习力学课程学到弹性力学就到头了。
当然还有后续的分支学科，包括水工、土木等，可能还要学一些土力学、岩石力学和其他相关的力学课程。

现在开始进入我们的课程，先介绍第一章 序论。
那么序论实际上就是说，我们要讲三点：

1. 弹性力学里面的研究内容是什么；
2. 这门课里面要实现到的几个基本概念；
3. 要建立弹性力学的模型所用到的一些基本假定。

我们这个就是按照我们学老的教材里面的一些要求、一些专家安排来进行。
先介绍我们第一届弹性力学里面的内容，每门课他的研究什么东西应该要清楚。
那么我们首先要谈一下弹性力学研究的内容到底是什么。

一般来讲，弹性力学研究的对象肯定是弹性体，那么研究弹性体的什么东西，
是成为我弹性力学里面的内容。我们是这样来定义的，
就是说研究弹性体受外来因素的影响。外来因素包括：

• 受力，即受到力的作用；
• 受到边界的约束；
• 受到弹性体的温度的改变等。

在这些因素作用情况下，我们要分析这个弹性体的力学响应。
那么那些响应我们一般是关心的是什么呢？一类是位移，一类是应变，一类是应力。
我们研究弹性体则受到外力、边界约束以及温度改变等引起的弹性体的位移、应变情况。这就是我弹性力学所关心的内容。

从研究内容来看，实际上研究弹性体的力学课程是很多的，
包括我们已经学过的材料力学、结构力学，它们都是研究弹性体的力学。
实际上这几门课从力学的学科分类来讲，
它们都是固体力学。也就是说，弹性力学、材料力学、结构力学都是固体力学的课程。

那么怎么去分呢？就是说哪些属于材料类的范畴，
哪些属于结构类的，哪些属于弹性的？
我们首先第一个从它的研究对象来讲，实际上是一根杆或者是一根柱子。

研究杆件包括梁、柱、竹等。
那么研究这个杆件干什么呢？手拉、压、弯曲、剪切、扭转以及各种组合变形作用情况下的那一点的应力情况。
这就是我们材料力学里面所研究的。
那么通俗一点讲，材料力学这门课的研究对象就是一根杆，这根杆可能是梁，可能是柱子，
也可能是一根竹，受各种作用情况下的基本变形及其组合变形。

那么我们学的结构力学实际上是研究的是几根杆，这个说法可能太通俗了。
我们讲的话，一般是框架结构，从结构形式来看，它不是由几根杆组成的吗？
而刚构力学与结构力学实际上是杆系结构。
也就是说，刚构力学是单一的一根杆，结构力学是由多根杆组成的杆系结构。

我们再来看看弹性力学它的研究对象怎么样呢？
因为实际问题里面，包括水工结构、土木工程结构，并不是说由杆组成的，
除了杆外，好像说我们房屋建筑有墙体、还有楼板等，它们就不是杆，
在我们的水工里面，你大坝以及各种的地下工程结构等等，它的组成并不是由杆系结构，
还有一个叫非杆系，或者叫非线性系的结构组成的。

弹性力学研究对象来讲，除了研究各种形状的弹性体，
这些弹性体可以是杆、可以是板、可以是桥等等这些结构。
那么对于非杆系结构，材料力学跟结构力学肯定是没办法解决的，
怎么办呢？我们就用弹性力学的方法来完成这项工作。
这从研究对象来讲，弹性力学就比材料力学要广泛得多。

第二个问题，材料力学研究杆系结构的一根杆的基本变形以及组合变形；
而弹性学还要研究点力学作用情况下的变形与应力情况。
为什么还要做呢？我们讲弹性学可以精确地分析点力学结构中的一些变形、应力情况。
也就是说，弹性学同样研究杆系与材料的学的结果能够知道材料的学误差到底有多少。

这样一来的话，我们就更加能够把每门课的确认知识用到实际问题去，
哪些结构可以用材料学进行实际分析，哪些结构按材料学进行分析会超出我们的实际要求。
这是从研究对象来讲，这三门课都是固体力学的范畴，但有分工。
我们在解决实际问题的时候，就可以用所学的知识来解决具体的问题。

那么我们下面看看研究方法。每门课我要揭露它的理论，那么怎么去揭露呢？
一般是从三个方面去考虑。
既然我们想学材料力学，我现在要学弹性力学，它都是固体的学科范畴。
我们用推导出来的横截面上的正应力公式，这个公式怎么来的？实际上是从三方面去考虑的：

1. 从静力学角度建立方程；
2. 从变形关系上建立方程；
3. 从物理学上关系方面去建立方程。

当我谈到材料力学时，在建立它的基本理论时也从这三方面考虑。
那么在研究方法上，弹性理论要求比较高，在我整个研究对象里，
我要严格考虑静力学、几何学、物理学的关系，然后建立相关的方程。
如果这些方程是微分方程，我就建立这个方程组，可以将所需量求出来。

但弹性力学里面从这三个方面去考虑得到的三套方程并不完全是微分方程，
一般是偏微分方程。我们学过高等数学，求解偏微分方程还要考虑边界条件。
在给定的边界条件下求解偏微分方程才能得到具体问题的解。
所以说，我们从研究方法上来说，第一，要建立三套方程；
第二，要建立相关边界条件，自己边界上的一些约缩情况、受力情况来建立相关边界条件。

那么有了区别的方程和边界条件，我下面就说在你给定具体问题的边界条件下，
我求解的三套方程得到的解就是讨论弹性力学问题的解。

那么我们讲材料力学同样也是从三方面去考虑的：仔细分析一下材料力学在变形时，
横截面上的应力如何产生；弯曲问题时，横截面的正应力基础共识是如何出来的？
实际上也是从三方面来考虑：一个是静力学，从平衡的观点；
几何学，从变形关系的观点；物理学，从应力与应变的关系来考虑。

在讲材料力学的时候，虽然也考虑了这三方面的要求，
但为什么说材料力学的结果是近似的呢？我们说，
材料力学除了要从三方面考虑之外，弹性力学所要求的是处处严格满足。
而材料力学可以不是处处，局部就可以。

此外，当我们进行拉压、扭转、弯曲来计算横截面的应力情况时，
实际上我们还引入了一个计算假定，这个计算假定叫平截面假定。
那么平截面假定是指，横截面在变形后仍保持为一个平面。
那么问题就在这里，既然是一个假定，必定会有可能不满足你这个假定，
如果你按这个计算假定来算，当然结果就会与实际有误差。

学完这门课后，我们再来评价一下材料力学在处理哪些情况时，它的计算假定是成立的，
哪些情况下这个平截面假定是不成立的，造成的误差会有多少。
我们将更加清楚在力学学科里面的地位：力学是一级学科，水力是一级学科，土木是一级学科。
一级学科下面分很多二级学科，那么我们列举一下，弹性力学是其他固体力学分支学科的基础。

对于工科专业的本科生而言，从纯力学课程来说应该是层次最高的境界。
当然后期相关的课程还很多，我们还有塑性力学、断裂力学，
以及我们工程方面的土力学、岩石力学等等。
这些基础的知识就是我们弹性力学里面的内容。

我们讲弹性力学在具体工程问题里面是非常重要的，
因为具体的工程就除了杆系结构以外，还有很多都是非杆系结构。
这些工程里面的结构分析，必须用到弹性力学的知识，
否则就不可能解决我们复杂的工程实际问题。

再谈一下我们学这门课的目的。
那么这个目的，我们就能说是对工科专业学习弹性力学这门课到底能有什么用。
我们就能泛泛介绍一下：

1. 我要把这门课的基本理论搞清楚；
2. 学会后，如何阅读与应用弹性力学里面的基本理论；
3. 解决实际问题。

除了弹性力学部分，课程还有有限单元法这部分。
有限单元法作为弹性力学里面的一种近似解法，可以用来解决工程实际问题。
并不是说所有的问题都可以用弹性力学的一套方程结合具体的边界条件解出来。
因为数学上并不是所有的微分方程在任意的边界条件下都可以得到解。
若解不到，这个问题并不是力学的问题，而是数学上的问题。

所以说，很多历史上的力学家往往都是数学家。
但我们讲，尽管不能精确地解出来，近似地能得到也是非常重要的，也是非常可取的。
所以，我们讲用弹性力学的近似解法，我们要介绍一种方法，
而且这一近似解法中还有很多，我们的有限单元方法就是我们这门课要介绍的内容。

最后一点，学习弹性力学为了为其他固体力学的分支学科打下基础，
包括我们后期的许多课程，学好了弹性力学，后续学习土力学、岩石力学就会非常轻松。
因为许多分析的思路都是从弹性力学的选拔过去的。这就是我们训练里面理解的内容。